Mapas unidimensionales y gráfica de la telaraña.

Un mapa es una función matemática cuyo dominio de entrada es igual a su rango de salida. Esto significa, en otras palabras, que la salida (resultado) de una función se va a volver a introducir en ella para arrojar el siguiente resultado, como si se reciclara el resultado introduciéndolo de nuevo en la función. Cuando "reciclamos" los valores estamos haciendo una iteración. Un mapa unidimensional es aquél que está definido por una sola variable.

Iniciamos con un valor para x y lo introducimos en nuestra función f(x). El resultado se vuelve a introducir en la función, para producir f²(x). Si introducimos el valor de f²(x) en f(x) obtendremos el valor de f³(x), y así sucesivamente. Es decir:

• x (valor inicial; iteración 0)
• f(x) (el valor inicial se introduce en la función; iteración 1)
• f(f(x)) = f²(x) (el valor de f(x) se pone en la función otra vez, produciendo f²(x); iteración 2)
• f(f(f(x))) = f³(x) (el f²(x) se pone en la función, dando f³(x); iteración 3)

Una definición:  el conjunto de puntos x, f(x), f²(x), f³(x), ..., f^k(x) se conoce como órbita de x bajo f(x).

Un ejemplo con números: considere el mapa dado por f(x) = 2x. Calcule la órbita del mapa con el valor inicial x = 0.1

En este caso, nuestros resultados serían:

• iteración 0: 0.1
• iteración 1: f(0.1) = 2(0.1) = 0.2
• iteración 2: f(f(0.1)) = f(0.2) = 0.4
• iteración 3: f(f(f(0.1))) = f(0.4) = 0.8
• iteración 4: f(f(f(f(0.1)))) = f(0.8) = 1.6

Note que no es lo mismo que encontrar los valores para hacer la gráfica de f(x) empezando desde 0.1 y aumentando en esa razón:

x	f(x)
0.1	0.2
0.2	0.4
0.3	0.6
0.4	0.8
0.5	1.0
0.6	1.2
0.7	1.4
0.8	1.6

Sin embargo, note que la órbita de f(x) = 2x está contenida en los valores de la gráfica de f(x), por lo que podemos representarla con esta misma gráfica. 

Observe la gráfica de f(x) = 2x a continuación:

Es posible localizar la órbita del mapa en ella. Para esto, en lugar de buscar punto por punto en el eje, se puede hacer a mano alzada con ayuda de la recta y = x, como se muestra en la imagen:

Ahora nos colocamos en el punto inicial, en este caso es 0.1, y nos movemos en forma vertical hacia la curva f(x) = 2x y luego horizontal hacia la recta y = x, y así sucesivamente:

Encontraremos de esta forma, gráficamente, la órbita del mapa. A esta técnica se le conoce como gráfica de la telaraña debido a su forma.

Cabe señalar que es importante comenzar la gráfica de la telaraña desde el punto inicial sobre el eje x y de ahí movernos verticalmente hacia la curva. En seguida se busca llegar a la recta y = x de forma horizontal . Esto aplica para cualquier mapa y para cualquier valor incial en x. Intenta tú mismo hacer la gráfica de la telaraña para la región de valores negativos comenzando, por ejemplo, con -0.1. Obtendrás una dinámica similar pero en sentido opuesto.

Nota: el tamaño de la gráfica debe ser cuadrada, porque si usas rectangular la gráfica de la telaraña te dará en valores incorrectos.

Referencia:
Alligood, K. T.; . Sauer, T. D.; Yorke, J. A.. CHAOS, An Introduction to Dynamical Systems; Springer, 1996.