Puntos fijos y su estabilidad

Un punto fijo p de un mapa es aquél que introducido en el mapa nos devuelve el mismo valor, es decir, f(p) = p. 

Por ejemplo, considere el mapa f(x) = 2x(1-x). Si calculamos su órbita, comenzando con x = 0.1, obtenemos:

k	fk(x)
0	0.2
1	0.32
2	0.4352
3	0.49160192
4	0.4998589445
5	0.4999999602
6	0.5
7	0.5
8	0.5
9	0.5

Observe que después de la séptima iteración ya no hay cambios en el mapa. En este caso, el punto fijo está dado en 0.5, y gráficamente lo localizamos en la intersección de la curva de la función con la recta y = x, como se ve a continuación:

Note que ambas curvas se cruzan en los valores x = 0 y en x = 0.5, por lo que decimos que estos dos son los puntos fijos del mapa. Analíticamente, para encontrar los puntos fijos en un mapa, que en este caso es unidimensional, igualamos ambas ecuaciones:

f(x) = y

Esto es:

2x(1-x) = x

Igualando a cero y reduciendo obtenemos:

2x²-x = 0

Podemos factorizar:

x(2x-1) = 0

Por lo tanto, obtenemos dos valores para x, donde x = 0 y x = 1/2. 

Ahora bien, tracemos la gráfica de la telaraña. Hagámosla para un valor inicial en x = 0.1 y de nuevo para un valor de x en -0.1<x<0:

Observe que si iniciamos en x = 0.1, la gráfica nos lleva hasta el valor en 0.5; pero en el otro valor inicial de x, nos vamos hacia el infinito negativo. De esta forma, el 0.5 está atrayendo a los puntos hacia sí mismo, por lo que podemos decir que es un atractor o sumidero, mientras que el 0 está repeliendo los puntos cercanos a él, por lo que lo llamamos repulsor o fuente. 

La región acotada de puntos que es capaz de atraer un punto fijo atractor se llama cuenca de atracción. En nuestro ejemplo, el 0.1 está dentro de esta cuenca de atracción porque al hacer la gráfica de la telaraña fuimos a parar hasta él. Lo mismo ocurrirá con el 0.2 (inténtalo). 

Vamos a determinar analíticamente si un punto fijo es atractor o repulsor, a lo que llamamos estabilidad.

Un punto fijo atractor también se conoce como estable, mientras que uno repulsor, inestable. A lo largo del tiempo, o de las iteraciones, un punto fijo estable hace que los puntos cercanos a él se le acerquen, mientras que el inestable repele a sus vecinos. Una excelente analogía de estabilidad es imaginando una pelota en la cima de una colina: en este punto, se vuelve inestable y tiende a dirigirse hacia el fondo o el valle, donde será estable.

La derivada del mapa en un punto fijo p nos da la medida de cómo la distancia entre p y un punto cercano se magnifica o se encoge debido a la acción del mapa con las iteraciones. Es decir, 0 y 0.1 están separados exactamente en 0.1 unidades. Luego de aplicar la regla a los dos puntos, la distancia que los separa se cambia por un factor aproximadamente igual a f'(0). Se dice que el punto fijo 0 es inestable cuando los puntos muy cercanos a él se alejan.

Ya hemos dicho que un punto fijo p de un mapa f es aquél que cumple f(p) = p. Si todos los puntos lo suficientemente cerca a p se atraen hacia él, p entonces es llamado sumidero o punto fijo atractor, y es estable. De lo contrario, si todos los puntos lo suficientemente cerca a p se repelen de él, p entonces es llamado fuente o punto fijo repulsor, y es inestable.

Cuando decimos que las distancias se magnifican, nos referimos a que aumentan en un factor necesariamente mayor a 1, mientras que si hablamos de un encogimiento, este factor tiene que ser menor a 1 (considere un número N: si lo multiplica por un número mayor que 1, el valor de N aumentará; pero si lo multiplica por un número menor que 1, el valor de N disminuirá). Así:

• Si |f'(p)| < 1, p es un atractor
• Si |f'(p)| > 1, p es un repulsor

Analicemos, pues, la estabilidad de los dos puntos fijos que encontramos anteriormente.

Primero, la derivada del mapa es:

f'(x) = 2-4x

Aplicando el primer punto fijo, x = 0:

|f'(0)| = |2 - 4(0)| = 2

Por lo que el punto fijo x = 0 es un repulsor. Esto lo comprobamos anteriormente con la gráfica de la telaraña. Ahora, para el segundo punto fijo x = 0.5:

|f'(0.5)| = |2-4(0.5)| = 0

Por lo tanto, el punto fijo x = 0.5 es un atractor, también comprobado con la gráfica de la telaraña.

Éste es el procedimiento para encontrar los puntos fijos y su estabilidad en un mapa unidimensional.

Referencia:
Alligood, K. T.; . Sauer, T. D.; Yorke, J. A.. CHAOS, An Introduction to Dynamical Systems; Springer, 1996.


 

Mapas unidimensionales y gráfica de la telaraña.

Un mapa es una función matemática cuyo dominio de entrada es igual a su rango de salida. Esto significa, en otras palabras, que la salida (resultado) de una función se va a volver a introducir en ella para arrojar el siguiente resultado, como si se reciclara el resultado introduciéndolo de nuevo en la función. Cuando "reciclamos" los valores estamos haciendo una iteración. Un mapa unidimensional es aquél que está definido por una sola variable.

Iniciamos con un valor para x y lo introducimos en nuestra función f(x). El resultado se vuelve a introducir en la función, para producir f²(x). Si introducimos el valor de f²(x) en f(x) obtendremos el valor de f³(x), y así sucesivamente. Es decir:

• x (valor inicial; iteración 0)
• f(x) (el valor inicial se introduce en la función; iteración 1)
• f(f(x)) = f²(x) (el valor de f(x) se pone en la función otra vez, produciendo f²(x); iteración 2)
• f(f(f(x))) = f³(x) (el f²(x) se pone en la función, dando f³(x); iteración 3)

Una definición:  el conjunto de puntos x, f(x), f²(x), f³(x), ..., f^k(x) se conoce como órbita de x bajo f(x).

Un ejemplo con números: considere el mapa dado por f(x) = 2x. Calcule la órbita del mapa con el valor inicial x = 0.1

En este caso, nuestros resultados serían:

• iteración 0: 0.1
• iteración 1: f(0.1) = 2(0.1) = 0.2
• iteración 2: f(f(0.1)) = f(0.2) = 0.4
• iteración 3: f(f(f(0.1))) = f(0.4) = 0.8
• iteración 4: f(f(f(f(0.1)))) = f(0.8) = 1.6

Note que no es lo mismo que encontrar los valores para hacer la gráfica de f(x) empezando desde 0.1 y aumentando en esa razón:

x	f(x)
0.1	0.2
0.2	0.4
0.3	0.6
0.4	0.8
0.5	1.0
0.6	1.2
0.7	1.4
0.8	1.6

Sin embargo, note que la órbita de f(x) = 2x está contenida en los valores de la gráfica de f(x), por lo que podemos representarla con esta misma gráfica. 

Observe la gráfica de f(x) = 2x a continuación:

Es posible localizar la órbita del mapa en ella. Para esto, en lugar de buscar punto por punto en el eje, se puede hacer a mano alzada con ayuda de la recta y = x, como se muestra en la imagen:

Ahora nos colocamos en el punto inicial, en este caso es 0.1, y nos movemos en forma vertical hacia la curva f(x) = 2x y luego horizontal hacia la recta y = x, y así sucesivamente:

Encontraremos de esta forma, gráficamente, la órbita del mapa. A esta técnica se le conoce como gráfica de la telaraña debido a su forma.

Cabe señalar que es importante comenzar la gráfica de la telaraña desde el punto inicial sobre el eje x y de ahí movernos verticalmente hacia la curva. En seguida se busca llegar a la recta y = x de forma horizontal . Esto aplica para cualquier mapa y para cualquier valor incial en x. Intenta tú mismo hacer la gráfica de la telaraña para la región de valores negativos comenzando, por ejemplo, con -0.1. Obtendrás una dinámica similar pero en sentido opuesto.

Nota: el tamaño de la gráfica debe ser cuadrada, porque si usas rectangular la gráfica de la telaraña te dará en valores incorrectos.

Referencia:
Alligood, K. T.; . Sauer, T. D.; Yorke, J. A.. CHAOS, An Introduction to Dynamical Systems; Springer, 1996.